Elementos de números racionales

 Elementos de números racionales 

La noción de racional proviene de ración (parte de un todo). Los números racionales están formados por los números enteros (que pueden expresarse como cociente: 5= 5/1, 38=38/1) y los números fraccionarios (los números racionales no enteros: 2/5, 8/12, 69/253).

Al estar estudiando la operación algebraica de multiplicación en los números enteros se denota que la operación contraria, la división, no todas las veces puede ser posible, por ejemplo 5/4 carece de lógica en los enteros. Surge por lo tanto la necesidad de extender el sistema de los números enteros a un nuevo sistema en el que se encuentre una lógica para este tipo de operaciones.   

Un número es racional si y sólo si su representación decimal es finita o infinita periódica. Así que sin necesidad de conseguir el cociente de enteros podemos justificar que los siguientes números son racionales. Ejercicio Clasificar el número 13/6 como entero, racional, irracional o real.

Historia 

Los egipcios calculaban la resolución de problemas prácticos utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; son los primeros números racionales utilizados para representar las partes de un entero por medio del concepto de recíproco de un número entero, ejemplos de como eran sus fracciones:

Los matemáticos de la antigua Grecia consideraban que dos magnitudes eran conmensurables si era posible encontrar una tercera tal que las dos primeras fueran múltiplos de la última, es decir, era posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tuvieran una medida entera, uno de sus matemáticos mas famosos fue pitágoras.

El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables, luego números racionales. 

Etimológicamente, el hecho de que estos números se llamen racionales corresponde a que son la razón de dos números enteros, palabra cuya raíz proviene del latín ratio, 6 7 y esta a su vez del griego λόγος (razón), que es como llamaban los matemáticos de la antigua Grecia a estos números. La notación empleada para nombrar el conjunto de los números racionales proviene de la palabra italiana quoziente, derivada del trabajo de Giuseppe Peano en 1895.

Qué son?

El conjunto de los números racionales se denota por Q que deriva de cociente Este conjunto de números incluye a los números enteros y a los números fraccionarios, y es un subconjunto de los números reales. La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien semiperiodo.

Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica es un número racional. Las fracciones equivalentes entre sí número racional son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre. Históricamente los números fraccionarios propios antecedieron a los negativos y a los imaginarios.

Aritmética de los números racionales

Relaciones de equivalencia y orden

Inmersión de enteros

Cualquier entero n se puede expresar como el número racional n/1 debido a eso se escribe frecuentemente (técnicamente, se dice que los racionales contienen un subanillo isomorfo al anillo de los números enteros

Equivalencia

ORDEN

Cuando ambos denominadores son positivos: 

Si cualquiera de los denominadores es negativo, las fracciones primero deben convertirse en otras equivalentes con denominadores positivos, siguiendo las ecuaciones:

 

Operaciones

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se les llama operaciones racionales.

 

Suma

Se define la suma o adición de dos números racionales a la operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su suma:

para poder sumar números fraccionarios tiene que hacer los siguientes pasos con igual denominador 1.se suman los numeradores y los denominadores se dejan

con diferente denominador 1.se saca el mínimo común múltiplo de los denominadores y luego se multiplican incluyendo el numerador

 

Resta

La operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su diferencia se llama resta o diferencia y se la considera operación inversa de la suma. 10

 

 

Multiplicación

La multiplicación o producto de dos números racionales:

Propiedades

Algebraicas

El conjunto de los números racionales equipado con las operaciones de suma y producto cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, es decir:

conmutativa

asociativa

distributiva

Existen los elementos neutros para la suma y producto. Para el producto es el 1, que puede ser representado por, con n distinto de 0, ya que. Posee elementos simétricos para las operaciones de suma y producto. Lo mismo ocurre en el caso del elemento simétrico respecto del producto, para todo número racional, distinto de 0, existe, llamado inverso multiplicativo tal que.

Ejercicios para resoverlos 

Si no puedes resolverlos o quieres verificar que esten bien aqui te dejo las respuestas 

Respuestas a las preguntas planteadas 

¿Cuál es la historia de los elementos de números racionales?

Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones

 

¿Qué son los elementos de los racionales?

Los números racionales son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros o, más exactamente, un entero y un natural positivo;1 es decir, una fracción común con numerador y denominador distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo.

 

¿Cuál es la aritmética de los números racionales?

En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional.

 

¿Cómo es la escritura decimal?

Cada número decimal consta de una parte entera y una parte decimal que van separadas de una coma. La parte entera va a la izquierda de la coma, y puede incluir el cero. La parte decimal va a la derecha de la coma. Por ejemplo, en el número decimal 1,3 la parte entera es 1 y la parte decimal es 3.

Triptico 

Conclusiones

Podemos concluir que los números racionales son muy importantes, ya que son parte de la base que todos debemos saber pare resolver operaciones matemáticas mas complejas que son posteriores a esta y que siempre podremos encontraran la vida cotidiana